Алгоритмы приближенных вычислений вероятностных характеристик наличия в программах РПС
В основу алгоритмов приближенных вычислений ВХ положен принцип расчета ВХ по функциям распределения выходных и промежуточных величин. При этом законы их распределения вычисляются как распределения функции от случайных аргументов[ЕУ].
Задача функционального преобразования непрерывных случайных величин формируется следующим образом.
Дано: совместная плотность распределения вероятностей wn(x1,...,xn) непрерывных случайных величин e1,...,en
и совокупность функций f1,...,fm от n переменных. С помощью этих функций определены m случайных величин h1=f1(x1,...,xn),...,hm=fm(x1,...,xn), где xi – значения случайных величин ei.
Необходимо: определить закон распределения каждой полученной случайной величины hj и их совместную плотность Wm(y1,...,ym), где yi - значения случайных величин hj.
Решение этой задачи точными методами [КК] даже для одномерного случая возможно только при жестких ограничениях на вид функции и закон распределения аргумента. Например, применение метода обратной функции требует вычисления на каждом участке монотонности f(x) обратной функции и производной от обратной функции.
Вычисление W(y) методом характеристической функции [КК] ограничено таким набором w(x) и f(x), для которых можно вычислить характеристическую функцию в явном виде, а по характеристической функции вычислить W(y).
В связи с этим целесообразно воспользоваться приближенным методом, сущность которого заключается в вычислении некоторых характеристик закона распределения и по ним восстановлении всего закона распределения. В качестве таких характеристик можно взять начальные моменты закона распределения:
mk(h)=
или для одномерного случая h=f(x)
mk(h)=
при условии, что этот интеграл сходится абсолютно [КК].
Поскольку данный методический подход возможен практически для любых вычислительных алгоритмов, то для иллюстрации его реализуемости можно ограничиться классом функций, представимых конечным степенным рядом.
В этом случае если f(x)=
Алгоритм A
А1. i:=1.
А2. Вычислить значения bj, j=1,...,N полинома f(x)i путем перемножения f(x)i и f(x)i-1: если f(x)=
А3. Вычислить mi(h)=
А4. i:=i+1.
А5. Если i£r/N, то переход на п.А2. В противном случае алгоритм завершается.
Кроме рассмотренного, возможно применение алгоритмов реализующих методы вычисления моментов функции от случайных величин с использованием моментопроизводящих или кумулянтных функций [КК].
Задача вычисления закона распределения F(y) в заданной точке y0 по L моментам формулируется следующим образом.
Дано: mi, i=1,...,L - начальные моменты F(y).
Необходимо: определить значения sup F(y0) и inf F(y0).
Метод вычисления sup F(y0) и inf F(y0) по известным начальным моментам F(y) описан в [Че]. Алгоритм вычисления sup F(y0) и inf F(y0) для L=2k-1, k=1,2..., и известных а и b – конечных значений y, меньше и больше которых соответственно значения функции принимать не могут, реализуют данный метод с некоторыми модификациями.
Алгоритм Б
Б1. Сформировать ряд «подходящих» дробей к интегралу
Б2. Преобразовать «подходящую дробь» в непрерывную вида
Б3. Привести непрерывную дробь к дробно рациональному виду jL(z)/yL(z).
Б4. Выполнить пункты Б2 и Б3 для L=L-1 и вычислить
jL-1(z)/yL-1(z).
Б5. Определить функцию
Б6.Определить вещественные корни полинома f1(z).
Б7. Вычисление интеграла
Таким образом, с помощью алгоритмов А
и Б можно с заданной точностью рассчитать вероятностные характеристики исследуемой программы.
